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第343章 刘徽（第3页）

（即一个大正方形内包含四个全等的直角三角形和一个小正方形），利用“出入相补”

原理，严格证明了“勾2+股2=弦2”

。

他在注文中写道：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦”

，并通过图形割补，清晰地展示了“勾实”

“股实”

与“弦实”

之间的面积关系，使勾股定理的证明具备了坚实的理论基础。

在体积计算方面，刘徽同样运用“出入相补”

原理，解决了“阳马”

（底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥）与“鳖臑”

（四个面均为直角三角形的三棱锥）的体积问题。

他通过将一个长方体分割成三个全等的阳马，或一个阳马分割成两个全等的鳖臑，证明了“阳马体积=13x底面积x高”

“鳖臑体积=16x底面积x高”

，并进一步推导出“任何拟柱体的体积均可通过分割为阳马、鳖臑等基本几何体来计算”

，为后来祖暅提出“祖暅原理”

（即“幂势既同，则积不容异”

）奠定了基础。

除《九章算术注》外，刘徽还着有《海岛算经》一卷（原附于《九章算术注》之后，唐代独立成篇），这部着作是中国古代测量学的集大成之作，专门探讨“可望而不可即”

的物体（如海岛、山峰、深井等）的高度、距离测量问题，其核心方法是“重差术”

。

“重差术”

的本质是利用两次或多次测量所得的“差”

，结合相似三角形的性质，推算出未知量。

例如，《海岛算经》开篇第一题“望海岛”

：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。

从前表却行一百二十三步，人目着地望岛峰，与表末参合。

从后表却行一百二十七步，人目着地望岛峰，亦与表末参合。

问岛高及去表各几何？”

刘徽的解法是：首先，设海岛高度为h，前表到海岛的距离为d，两表间距为d，前表却行距离为a1，后表却行距离为a2。

根据相似三角形原理，他推导出公式：h=3+frac{3xd}{a2-a1}，d=frac{a1xd}{a2-a1}，代入题目中的数值（1步=6尺，3丈=30尺=5步），最终计算出岛高为4里55步，前表到海岛的距离为102里150步。

这种方法不仅解决了复杂地形下的测量难题，更将相似三角形的应用从“平面测量”

扩展到“立体测量”

，其精度与逻辑性远超同时代的西方测量技术。

在西方，类似的“三角测量法”

直到16世纪才由荷兰数学家斯台文提出，比刘徽晚了1300余年。